Ementas Disciplinas Mestrado
Ementas e Programas das disciplinas do Mestrado
Tópicos de Álgebra
Ementa
Estrutura dos corpos finitos. Polinômios sobre corpos finitos. Somas exponenciais. Equações sobre corpos finitos. Aplicações.
Programa
Polinômios. Extensões de corpos. Homomorfismos de corpos. Teoria de Galois para corpos finitos. Caracterização dos corpos finitos. Raízes de polinômios irredutíveis. Normas, Traços de Bases. Representação dos elementos de um corpo finito. Polinômios irredutíveis. Construção de polinômios irredutíveis. Somas exponenciais. Caracteres. Somas de caracteres. Relações de ortogonalidade. Somas de Gauss e Jacobi. Equações sobre corpos finitos. Número de soluções. Equações polinomiais em uma variável. Equações polinomiais em várias variáveis. Polinômios homogêneos. Polinômios diagonais. Aplicações: códigos lineares e criptografia.
Bibliografia
Lidl, R. And Niederreiter, H., Introduction to finite fields and their applications, revised edition, Cambridge University Press, 1994.
Lidl, R. And Niederreiter, H., Finite fields. Cambridge University Press, second edition, Cambridge University Press, 1997.
McEliece,R. J. Finite fields for computer scientists and engineers. Kluvwer Academic Publishers, 1987
Álgebra Linear
Ementa
Espaços Vetoriais e Transformações Lineares. Diagonalização de Operadores e Formas Canônicas. Espaços com Produto Interno.
Programa
Espaços vetoriais. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Diagonalização de Operadores. Teorema da Decomposição Primária. Formas Canônicas de Jordan. Formas Bilineares. Transformações Auto-adjuntas. Teorema Espectral. Classificação das Quádricas.
Bibliografia
Hoffamm, K. – Linear Álgebra.
Halmos, P. R. – Espaços Vetoriais de Dimensão Finita.
Ganmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.
Topologia
Ementa
Espaços Métricos e Topológicos. Espaços Completos, Compactos e Conexos. Continuidade Uniforme. Extensão Contínua de Funções. Completamento de um Espaço Métrico. Teoremas de Pontos Fixos. Teorema de Baire. Teorema de Aproximação de Weierstrass.
Programa
Espaços métricos e topológicos: Noções básicas de distância e topologia. Conjuntos abertos, fechados, limitados e conexos em espaços métricos e em espaços topológicos. Coberturas (finitas e enumeráveis) de abertos e fechados.
Espaços completos: Seqüências e subseqüências. Convergência. Pontos aderentes e de acumulação. Seqüências de Cauchy, Critérios de convergência de seqüências e séries. Espaços métricos e topológicos completos. Espaços métricos e topológicos compactos.
Limite e continuidade: Limite de funções, continuidade, continuidade uniforme. Convergência uniforme e pontual de funções contínuas. Equicontinuidade.
Extensão de funções contínuas: Teoremas de extensões de funções contínuas definidas em conjuntos compactos e ou fechados. Separação de conjuntos.
Completamento de espaços métricos: Completamento de espaços métricos, espaços quocientes, relações de equivalência em seqüências de Cauchy. Conjuntos totalmente limitados.
Teoremas de pontos fixos: Contrações uniformes, teorema do ponto fixo para contrações e aplicações.
Teorema de Baire: Conjuntos magros, conjuntos residuais, limite pontual e uniforme de funções contínuas. Funções não diferenciáveis e contínuas.
Teorema de Aproximação de Weirstrass: Aproximação de funções contínuas reais por polinômios. Álgebra de funções.
Bibliografia
Lima, E. L. - Espaços Métricos, Projeto Euclides.
Simmons, G. – Introduction to Topology and Modern Analysis.
Álgebra Multilinear
Ementa
Espaços vetoriais. Espaços vetoriais quocientes. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo e da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Produto interno. Isomorfismos. Bases ortonormais. Polinômios característicos e minimais. Diagonalização de Operadores. Operadores nilpotentes. Forma canônica racional. Formas Canônicas de Jordan. Formas bilineares. Operadores Simétricos e Auto-adjuntos. Teorema Espectral. Classificação das Formas Quadráticas. Determinantes. Cálculo Diferencial das matrizes.
Bibliografia
Herstein, Algebra, John Wiley.
Peter Lax, Linear Álgebra, Acad. Press.
Gantmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.
Álgebra
Ementa
Grupos, Anéis, Extensão de Corpos e Teoria de Galois.
Programa
Grupos finitos. Subgrupos. Grupos quocientes. Teorema de Lagrange. Ações de Grupos. Teoremas de Sylow. Grupos abelianos finitamente gerados. Anéis: Anéis e ideais, Domínios euclidianos, Anéis de polinômios, Domínios de fatoração única, corpos finitos. Extensões de Corpos e Teorema Fundamental da Teoria de Galois.
Bibliografia
Thomas W. Hungerford, Springer Verlag, Álgebra, 8th edition, May 1997.
I.N.Herstein, John wiley & Sons, Topics in Álgebra ,2nd edition, June 1975.
Serge Lang, Springer Verlag, Algebra, 3rd Revision edition, January 2002.
Joseph Rotman, Springer Verlag, An Introduction to the Theoryof Groups, November, 1991.
Paul J. McCarthy, Dover Pubns, Algebraic Extensions of Fields, April 1991.
Análise no Rn
Ementa
Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Regra da Cadeia. Teoremas da Função Inversa e Implícita. Formas Locais das Imersões e Submersões. Integrais Múltiplas. Teorema de Mudança de Variáveis. Formas Diferenciais.
Programa
Aplicações diferenciáveis e classes de diferenciabiliade. Regra da Cadeia. Desigualdade do valor médio. Integrais: caminho, repetidas e múltiplas. Derivadas parciais e o teorema de Schwartz. Fórmula de Taylor. Funções implícitas: Teorema da função inversa, formas locais das submersões e imersões, teorema da função implícita, teorema do posto. Produtos tensorial e exterior, campos e formas diferenciais no Rn, integrais de formas, o teorema de Stokes.
Bibliografia
Lima, E. L. – Análise em Rn.
Lima, E. L. – Análise Real
Lima, E. L. – Análise II, Projeto Euclides.
Spivak, M. – Cálculos on Manifolds, Benjamin.
Carmo, M.P. – Differential Forms and applications, Springer-Verlag
Medida e Integração
Ementa
Medidas no Plano. Medida de Lebesgue. Funções Mensuráveis. Integral de Lebesgue. Integral de Lebesgue versus Integral de Riemann. Teorema de Fubini. Relação entre Derivadas e Integrais.
Programa
Conjuntos e funções mensuráveis; Operações com conjuntos e funções mensuráveis; Limites de conjuntos e funções mensuráveis. Medidas; Espaços de medida; Exemplos; Sigma; Álgebra de Borel; Medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue; Lema de Fatou; Teorema da convergência dominada; Aplicações; Comparação entre integral de Riemann e Lebesgue. Espaços normados; Espaços completos; Espaços Lp; Desigualdade de Holder; Desigualdade de Minkowiski; Completude dos espaços Lp. Convergência em média; Uniforme em quase todo ponto e em Lp. Comparação entre os tipos de convergência. Extensões de medidas; Teorema de Caratheodory; Medida de Lebesgue e de Lebesgue-Stieltjes. Medida produto; Teoremas de Tonelli e Fubini.
Bibliografia
Royden, H. – Real Analysis, Michillan.
Bartle, G. – The Elements of Integration, John Wiley.
Kolmogorov, A., Formin S. – Introductory Real Analysis, Dover Publications.
Equações Diferenciais Ordinárias
Ementa
Teorema de Existência e Unicidade. Continuidade com respeito as condições iniciais. Fluxos lineares. Equações Autônomas. Pontos singulares e regulares. Teorema do Fluxo Tubular. Pontos singulares hiperbólicos. Estabilidade de um ponto singular. Funções de Liapounov. Órbitas periódicas. Estabilidade de órbitas periódicas. Teorema de Poincaré-Bendixson no plano. Outros tópicos.
Programa
Teorema de Existência e Unicidade, Teorema de Picard e Peano. Continuidade com respeito as condições iniciais, Equação de variação e derivadas de ordem superior. Fluxos lineares, Exponencial de matrizes. Sistemas hiperbólicos, Formas normais. Pontos singulares hiperbólicos, Teorema de Hartman e aplicações. Funções de Liapounov, Energia cinética e potencial, Campos gradientes e hamiltonianos. Teorema de Poincaré- Bendixson no plano, Teorema de Poincaré-Bendixson na esfera e outras superfícies. Equações de Lienard e ciclos limite, Teorema de Peixoto e estabilidade estrutural de campos de vetores.
Bibliografia
Arnold, V. – Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag.
Smale, S., Hirsch, M. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press.
Sotomayor, J. – Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides. 1979.
Palis, Melo – Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, 1977.
Equações Diferenciais Parciais
Ementa
Regularizações em Lp. Equações de primeira ordem. Leis de Conservação. Equações quase-lineares e o Teorema de Cauchy-Kowalewski. As Equações de Laplace, Calor e Onda em domínios do Rn.
Programa
Desigualdades básicas. Equações de 1a Ordem e Leis de Conservação, Soluções fracas. Equações Quase-Lineares de Segunda Ordem e Classificação. Superfícies, Características. Teorema de Cauchy-Kowalevski. Problemas bem-postos. Equação de Laplace, Funções de Green, Funções Harmônicas e Sub-harmônicas, Princípio do Máximo, Problema de Dirichlet na Esfera e em Domínio Limitado, Problemas não Homogêneos. A Equação do Calor, Princípio do Máximo, Problemas de Dirichlet, Newmann e Cauchy. A Equação da Onda, Médias Esféricas, Princípio de Duhamel, Método das descendentes, Problemas de Cauchy Homogêneo e não Homogêneo.
Bibliografia
Emmanuele Di Benedetto, Partial Differential Equations, Birkhauser, Boston, 1995.
Iório R., Iório V. Equações Diferenciais Parciais: Uma Introcução, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, IMPA, 1988.
Fritz John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1979.
G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton University Press, New Jersey, 1995.
Friedman, A., Partial Differential Equations, Holt Rinehart and Winston, New York, 1976.
Funções de uma Variável Complexa
Ementa
Funções Holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann. Funções Meromorfas. Seqüências e Séries de Funções. Teorema de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Princípio do Módulo Máximo e Aplicações. Cálculo de Resíduos e Aplicações. Teorema de Representação Conforme de Riemann. Espaços de Funções Holomorfas.
Programa
1. O corpo de números complexos. Números complexos. Séries de números e de funções. Espaços de funções contínuas;
2. Funções analíticas. Funções holomorfas: derivação, aplicações conformes, o teorema da função inversa. Séries de potências. Funções exponencial, logaritmo, raízes e potências, trigonométricas. Funções analíticas.
3. Integração no plano complexo. Formas diferenciais. Homotopia e integração. Teoremas de Jordan e de Green. 4. Teoria de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Aplicações. Séries de Laurent. Teoria dos resíduos. A esfera de Riemann.
Bibliografia
Alcides Lins Neto, Funções de uma variável complexa, Rio de Janeiro, Projeto Euclides, IMPA, 1993.
Alfhors, L.V. – Complex Analysis, McGraw-Hill, Book Co.,1966.
Cartan, H. – Théorie Elementarie des Functions Analytiques d´ une Ou Plusieurs Variable Complexas, Paris, Herman, 1961
Geometria Diferencial
Ementa
Curvas no Plano e no Espaço. Superfícies Regulares em R3. Primeira e Segunda Formas Fundamentais. Geometria Intrínseca das Superfícies em R3.
Programa
Curvas no Plano, Curvas no Espaço, Curvatura, Torção, Fórmulas de Frenet, Teorema Fundamental da Teoria das Curvas, Propriedades Globais de Curvas Planas. Superfícies Regulares em R3. Plano Tangente, Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies, Orientabilidade, A Primeira Forma Fundamental, A Aplicação Normal de Gauss, A Segunda Forma Fundamental, Curvaturas Principais e Direções Principais, Curvatura Média e Curvatura Gaussiana, Linhas de Curvatura e Linhas Assintóticas, Superfícies Mínimas, Geometria Intrínseca das Superfícies, Isometria, O Teorema de Gauss e as Equações de Compatibilidade, Derivada Covariante, Transporte Paralelo, Geodésicas, Teorema de Gauss-Bonnet e Aplicações.
Bibliografia
Carmo, M. P. do – Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, USA , 1976.
Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Publish or Perish, USA, 1979.
O’ Neill, B. – Elementary Differential Geometry, Academic Press, USA, 1997.
Geometria Riemanniana
Ementa
Variedades Diferenciáveis. Variedades Riemannianas.Conexões. Geodésicas. Curvaturas. Campos de Jacobi. Imersões Isométricas. Variedades Completas. Espaços de Curvatura Constante.
Programa
Variedades Diferenciáveis. Espaço Tangente. Imersões. Mergulhos. Subvariedades. Orientabilidade. Fibrado Tangente. Campos de Vetores. Colchete de Lie. Variedades Riemannianas. Conexões afins. Conexão Riemannianaa. Teorema de Levi-Civita. Geodésicas. Fluxo Geodésico. Propriedades Minimizantes das Geodésicas. Vizinhanças Convexas. Curvatura. Curvatura Seccional. Curvatura de Ricci. Curvatura Escalar. Campos de Jacobi. Pontos Conjugados. Imersões Isométricas. A Segunda Forma Fundamental. Equações de Gauss, Codazzi e Ricci. Variedades Completas. Teorema de Hoph-Rinow. Teorema de Hadamard. Espaços de Curvatura Constante. Teorema de Cartan. As Formas Espaciais. Isometrias do Espaço Hiperbólico. Teorema de Liouville.
Bibliografia
Do Carmo, M.P. – Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1988.
Boothby, W. M. – Na Introduction do Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975.
Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vols. 1,3 e 4, Publish or Perish, 1979.
Sakai, T. – Riemannian Geometry, AMS, 1996
Probabilidade
Ementa
Modelos Elementares (Espaços Finitos), Elementos de Teoria da Medida, Elementos de Teoria da Probabilidade.
Programa
Modelos Elementares (Espaços Finitos): Espaço de probabilidade, Variáveis aleatórias, Lei fraca dos grandes números de James Bernoulli, Teorema Central do Limite de De Moivre – Laplace; Elementos de Teoria da Medida: Medidas, Funções mensuráveis, Integral de Lebesgue, Teoremas de Convergência; Elementos de Teoria da Probabilidade: Espaços de probabilidade, Variáveis aleatórias, Leis dos grandes números, Teorema Central do Limite de Lindeberg-Feller.
Bibliografia
Barry, J. – Probabilidade: um curso em nível de Introdução, SMB.
Barra, G. de – Measure Theory and Integration, Wiley.
Teoria dos Grupos Finitos
Ementa
Representações permutacionais. Automorfismos. Grupos solúveis. Classificação de certos p-grupos finitos
Programa
Representações permutacionais. Teoremas de Sylow e aplicações. Produtos diretos finitos. Automorfismos. Produtos semidiretos. Extensões de grupos. Grupos abelianos. Teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados. Automorfismos de p-grupos abelianos finitos. Decomposições de um grupo. Teorema de Remak-Krull-Schmidt. O homomorfismo “Transfer” e aplicações. Séries normais. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos solúveis. Teoremas de P. Hall. Séries centrais. Grupos Nilpotentes. Caracterização de grupos nilpotentes finitos. Classificação de certos p-grupos finitos. Teorema de base de Burnside para p-grupos finitos.
Bibliografia
D.J. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer Verlag, 1982.
J.J. Rotman, An Introduction to tha Theory of Groups, Springer Verlag, 1995.
M. Hall Jr., The Theory of Groups, Macmillan, 1968.
M. Suzuki, Goup Theory I, Springer, 1982.
T. W. Hungerford, algebra, Apringer, 1996.
D. Gorenstein, Finite Groups, Harper 7 Row, 1968.