Ementas

Ementas das disciplinas do Doutorado

ÁLGEBRA COMUTATIVA

A linguagem de categorias e funtores. Os funtores básicos da Álgebra Comutativa, Hom e Ext. Módulos projetivos e injetivos. Definição e fatos
básicos sobre complexos, homologia e cohomologia. Definição e propriedades básicas do funtor Ext. Definição e propriedades básicas do funtor Tor. Uma introdução ao complexo de Koszul . Localização de anéis e módulos. O espectro de um anel comutativo. Anéis graduados. Anéis
Noetherianos: teorema da base e Nullstellensatz. Funções de Hilbert e Polinômios de Hilbert. Resoluções livres e Teorema Syzygy. Teorema da Decomposição Primária de anéis Noetherianos. Anéis Artinianos. Radicais Nil e de Jacobson. Bases de Grobner: teoria construtiva de módulos. Teoria da eliminação. Syzygies de submóduls monomiais. Bases de Grobner : syzygies. Aplicações. Seqüências regulares e o complexo de Koszul.

Bibliografia

ATIYAH, M. F. e MACDONALD, I. G. , Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969.
COX, D. A. , LITTLE, J. B. and O'SHEA, D. Ideals, Varieties and Alghoritms, Third Edition, Springer Verl
EISENBUD, D. , Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Berlin, Springer-Verlag, 1995.
Maclane, S., Homology, Springer, 1963.
ROTMAN, J. J., Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, Upper Saddle RTiver, NJ, 2002.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra: Commutative View, Grad. Studies in Math. vol. 73, AMS, 2006.
WEIBEL, C., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge U. Press, 1996.
ZARISKI, O. and SAMUEL, P. Commutative Algebra, Springer reprint, 1979.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra: Commutative View, Grad. Studies in Math. vol. 73, AMS, 2006.

ÁLGEBRA NÃO COMUTATIVA

Anéis não comutativos, teoria geral; Teoria de Wedderburn-Artin: terminologia básica e exemplos. Anéis e módulos semi-simples. Estrutura de anéis semisimples. Teoria do radical de Jacobson: o radical de Jacobson; mudança de anéis; anéis de grupos; o problema da semisimplicidade. Módulos sobre álgebras de dimensão finita; representação de grupos finitos; grupos lineares; Teorema de Burnside. Quasedeterminantes: definição em termos de inversos e recursividade. Propriedades; relações linhas/colunas, teorema de Sylvester; Aplicações: quasedeterminante de Vandermonde, teorema de Vieta, funções simétricas. Álgebras relacionadas a raízes de equações: Qn, definição das álgebras A(f),descrição de uma base linear. Lema do Diamante de Bergman. Fatoração em anéis polinomiais retorcidos: teorems do resto e do produto; definição e exemplos de polinomios de Wedderburn. Álgebras de Koszul:defnição,álgebra dual, série de Hilbert.

Bibliografia

BERGMAN,G.M.,The Diamond Lemma for Ring Theory,Advances in Mathematics,29(1978)178-195.
FRÖBERG,R.,Koszul Algebras, manuscript, 1998.
GELFAND,I.,GELFAND,S.,RETAKH,V.e WILSON,R.L.,Quasideterminants, Advances in Mathematics193(2005), 56-141.
GELFAND,I.,RETAKH,V.,SERCONEK,S. e WILSON,R.L., On a Class of Algebras Associated to Directed Graphs,
LAM,T.Y., A First Course in Non Commutative Rings, 2nd edition, Springer Verlag, N.Y., 2001.
LAM,T.Y. e LEROY, A., Vandermonde and Wronskian Matrices over Division Rings, Journal of Algebra 119 (1988), 308-336.
LAM,T.Y., e LEROY, A., Wedderburn Polynomials over Division Rings I, Contemporary Mathematics.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra:A Noncommutative View, Grad. Studies in Math. vol. 91, AMS, 2008.

ANÁLISE FUNCIONAL
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.

Bibliografia

BACHMAN, G. e NARICI, L.. - Functional Analysis. New York, Academic Press, 1966.
DUNFORD, N. e SCHWARTZ, J. - Linear Operators, Vol. 1, Wiley Interscience. New York, 1964.
REED, M. e SIMON, B. - Methods of Modern Mathematical. Physics, vol. I. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e NAGY, B. - Functional Analysis. New York, Frederick Ungar, 1955

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E APLICAÇÕES
Equações não lineares de primeira ordem. O problema de Cauchy para equações quasi-lineares. Equação de Burgers e a condição o choque (condição de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque e ondas de rarefação. Equações de Buckley-Leverett. Equações Hiperbólicas de segunda ordem. Propagação de singularidade. A equação da onda. Equações de Águas Rasas. O teorema de Cauchy-Kowalevski, a identidade de Green e o teorema de unicidade de Holmgren. Soluções fracas; distribuições. Equações elipticas. A equação de Laplace. A Equação de Poisson para a pressão ou função de corrente. Equação da onda em variáveis espaciais. Método das médias esféricas, princípio de Duhamel em métodos e energia. Equações parabólicas. Princípio do máximo. Análise de unicidade e regularidade. Outros tópicos.

Bibliografia

JOHN, F. - Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982.
GARABEDIAN, P. R. - Partial Differential Equations, Chelsea Publ. Co., 1986.
SMOLLER, J. - Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag, 1983.
WHITHAM, G. B. - Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, 1974.
COURANT, R., HILBERT, D. - Methods of Mathematical Physics, vol. II, Partial Differential Equations, Intersciense Publisher, 1953.
KEVORKIAN, J. - Partial Differential Equations, Analytical Solution Techniques, Wadsworth & Brooks/Cole, 1990.
HABERMAN, R. - Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall, 1987.
WEINBERGER, H. - A First Course in Partial Differential Equations, John Wiley, 1965.
ARNOLD, Vladimir I. Lectures on partial differential equations. Universitext. Springer-Verlag

GEOMETRIA RIEMANNIANA
Métricas Riemannianas. Conexões afins. Conexão de Levi-Civita. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Curvaturas; Seccional, de Ricci e curvatura escalar. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; as formas fundamentais, equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante; Teorema de Cartan. As formas espaciais. Variações do comprimento de arco; aplicações. Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge. Teorema de comparação de Rauch. Outros Tópicos.

Bibliografia

CARMO, M. do - Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, IMPA,2a.ed. 1988.
CHEEGER, J. e EBIN, D. - Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Amsterdam, North-Holland, 1975.
GALLOT, S.; HULIN, D. e LAFONTAINE, J. - Riemannian Geometry, Berlin, Springer-Verlag, 2a.ed.1987.
SAKAI, T. - Riemannian Geometry, Mathematical Monographs, vol. 149, A.

OTIMIZAÇÃO
Existência de soluções. Condições de otimalidade para problemas sem restrições. Condições de otimalidade em forma primal para problemas com restrições. O cone tangente. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade (condições de Lagrange, condições de segunda ordem). Conjuntos convexos. Teoremas de separação. Teoremas de alternativa. Funções convexas. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade e desigualdade (condições de Karush-Kuhn-Tucker, condições de segunda ordem). Elementos da Teoria de Dualidade.

Bibliografia

BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D., SHETTY, C. M. - Nonlinear programming: Theory and algorithms. 3nd ed. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
BERTSEKAS, D. P. - Nonlinear programming, Belmont, Mass.: Athena Scientific, 1995.
IZMAILOV, A., SOLODOV, M. - Otimização, volume 1: Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
LUENBERGER, D. G. - Linear and nonlinear programming. 2nd ed. Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2003.
PERESSINI, A. L.; SULLIVAN, F. E., UHL, J. J., JR- The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag

SISTEMAS DINÂMICOS
Campos de vetores em variedades, Estabilidade estrutural, Variedades Invariantes (estável, central). Transversalidade. Propriedades genéricas de sistemas. Teorema de Hartman. Teorema de Stenberg, Teorema de Kupka-Smale, Teorema de Peixoto, Sistemas Hiperbólicos, Sistemas de Anosov e Morse-Smale. Bifurcações e formas normais.

Bibliografia

PALIS, J. e MELO, W. Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projetos Euclides, IMPA, 1977.
SHUB, M. Global Stability of Dynamical Systems. New York, Springer-Verlag, 1987.
BONATTI, C., DÍAZ, L. J. e VIANA, M - Dynamics beyond uniform hyperbolicity: a global geometric and probabilistic perspective. Springer Verlag, 2004.

LLIBRE, J.; DUMORTIER, F.; ARTÉS, J. C.: Qualitative theory of planar differential systems. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
MOSER J., ZEHNDER, E.; Notes on Dynamical Systems, Courtant Lecture Notes 12, A.M.S, 2005.
ARNOLD, V., Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. Editora Mir, 1984.

TEORIA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS
Inteiros algébricos. Anel dos inteiros algébricos de um corpo de números, bases e discriminante. Ideais, ideais primos. Grupo de classes, finitude do grupo de classes. Fatoração única e ideais primos. Norma de ideais. Discriminante, diferente e ramificação. Igualdade fundamental. Corpos quadráticos e lei de reciprocidade quadrática. Corpos ciclotômicos. Teorema de Dirichlet (unidade). Função zeta e L-séries de corpos de números, fórmula analítica do número de classes.

Bibliografia

BOREVICH, Z. I. e SHAFAREVICH, I.R. - Number Theory, New York, Academic Press, 1966.
ENDLER, O. Teoria dos números algébricos. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1986.
RIBENBOIM, P. - Algebraic Numbers, New York, Wiley-Interscience, 1972.
SAMUEL, P. - Théorie Algébrique des Nombres, Paris, Hermann, 1967.

TEORIA ESPECTRAL
Operadores lineares limitados e não limitados. Operdaores integrais, operadores de multiplicação e operadores diferenciais. O teorema de extensão para operadores limitados. A transformada de Fourier em L1(Rn), S(Rn) e L2(Rn) Distribuições de L. Schwartz, distribuições temperadas e distribuições de suporte compacto. Os espaços de Sobolev Hs(Rn). Aplicações às equações de evolução, lineares e não lineares. Operadores fechados, fecháveis, simétricos e auto-adjuntos. Resolvente e espectro. A transformada de Cayley. Diferenciação de medidas. O teorema de decomposição de Hahn. O teorema de decomposição de Radon-Nikodyn. Integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O teorema espectral para operadores auto-adjuntos nas formas de integrais espectrais, de operador de multiplicação e de cálculo funcional. O teorema de Stone.

Bibliografia

HILLE, E. - Methods in Classical and Functional Analysis.
KOLMOGOROV, A. N. e FOMIN, S. V. - Introductory Real Analysis, Dover Publ., Inc. (1970).
REED, M. e B., SIMON - Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I e II. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e SZ.-NAGY, B. - Functional Analysis, Frederick Ungar Publ. Co. (1955).
RUDIN, W.- Real and Complex Analysis.
STONE, M. - Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, Amer.

TÓPICOS DE BIFURCAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Bifurcações de sistemas unidimensionais e bidimensionais a vários parâmetros. Teoremas de estabilidade e genericidade. Pontos singulares finitamente determinados: Teorema de Bendixson-Dumortier. Espaços de jatos, Teorema de preparação de Weierstrass-Malgrange. Desingularização de pontos singulares. Aplicações: bifurcações dos sistemas gradientes; Teorema de Thom. Bifurcações de Hopf generalizadas. Bifurcações dos pontos singulares nilpotentes. Bifurcações de sistemas hamiltonianos. Teorema de Bogdanov-Takens. Outros tópicos.

Bibliografia

ANDRONOV, A. A., LEONTOVICH, E. A. - Theory of Bifurcations of Dynamical Systems on a Plane, Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1971.

GUCKENHEIMER J., HOLMES, J. - Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. Berlin, Springer-Verlag, 1983.

SOTOMAYOR, J. - Curvas Definidas por Equações Diferenciais no Plano, Rio de Janeiro, IMPA, 1981.

ROUSSARIE, R., Bifurcation of planar vector fields and Hilbert's sixteenth problem. Progress in Mathematics, 164. Birkhäuser Verlag, Basel, 1998

Dumortier, Freddy; Llibre, Jaume; Artés, Joan C. Qualitative theory of planar differential systems. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

Arnold, V. Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. Editora Mir. Moscow, 1984.

Ilyashenko, Yu.; Li, Weigu, Nonlocal bifurcations. Mathematical Surveys and Monographs, 66. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999

Demazure, Michel. Bifurcations and catastrophes. Geometry of solutions to nonlinear problems. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2000

Kuznetsov, Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. Applied Mathematical Sciences, 112. Springer-Verlag, New York, 1995.

TÓPICOS DE GEOMETRIA RIEMANNIANA

Ementa variável: os tópicos a serem ministrados, em cada período, deverão ser escolhidos dentro das linhas de pesquisa do grupo de geometria.

Bibliografia

Artigos e/ou livros a serem definidos em cada período.

TÓPICOS DE OTIMIZAÇÃO

o método do gradiente, o método de Newton, métodos quase-Newton, métodos de direções conjugadas, métodos do gradiente projetado, métodos de direções viáveis, penalização externa, penalização interna, Lagrangianas aumentadas, programação quadrática seqüencial, métodos de subgradiente, o método de planos cortantes, métodos de feixe e método de ponto Proximal.

Bibliografia

BERTSEKAS, D.P. - Nonlinear Programming. Athena Scientific, 1995.

BONNANS, J.F., GILBERT J-CH., LEMARÉCHAL, C., SAGASTIZÁBAL, C. - Numerical optimization : theoretical and practical aspects. 2nd ed, Berlin;

New York. Springer, 2006.

DENNIS JR, J. E., SCHNABEL, R. B. - Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. Corrected reprint of the 1983 original. Classics in Applied Mathematics, 16. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.

IUSEM, A. N. - Métodos de ponto proximal em otimização. Rio de Janeiro, IMPA, 1995.

IZMAILOV, A. E., SOLODOV, M. - Otimização, volume 2. Rio de Janeiro, IMPA, 2007.

TOPOLOGIA DIFERENCIAL

Variedades diferenciáveis; definições, exemplos. Aplicações diferenciáveis. Fibrado tangente. Imersões, mergulhos e submersões. Variedades orientáveis . Partições da unidade . Transversalidade. Homotopia e estabilidade. Teorema de Sard. Teorema do mergulho de Whitney. Topologia Cr (domínio compacto) no espaço de funções. Variedades com bordo. Transversalidade e teoria da interseção módulo dois.Teoria da Interseção orientada.Teorema do ponto fixo de Lefstchetz. Teorema do índice de Poincaré-Hopf. Outros tópicos.

Bibliografia

LIMA, E. L., Introdução à Topologia Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.

MILNOR, J., Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville, Princeton Univ. Press, 2nd (1969).

HIRSCH, M., Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer-Verlag, New York, 1994.

Guillemin, Victor; Pollack, Alan, Differential topology. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974.

LANG, S; Fundamentals of Differential Geometry, Springer Verlag, 1999.

Ementas e Programas das disciplinas do Mestrado

Tópicos de Álgebra

Ementa

Estrutura dos corpos finitos. Polinômios sobre corpos finitos. Somas exponenciais. Equações sobre corpos finitos. Aplicações.

Programa

Polinômios. Extensões de corpos. Homomorfismos de corpos. Teoria de Galois para corpos finitos. Caracterização dos corpos finitos. Raízes de polinômios irredutíveis. Normas, Traços de Bases. Representação dos elementos de um corpo finito. Polinômios irredutíveis. Construção de polinômios irredutíveis. Somas exponenciais. Caracteres. Somas de caracteres. Relações de ortogonalidade. Somas de Gauss e Jacobi. Equações sobre corpos finitos. Número de soluções. Equações polinomiais em uma variável. Equações polinomiais em várias variáveis. Polinômios homogêneos. Polinômios diagonais. Aplicações: códigos lineares e criptografia.

Bibliografia

Lidl, R. And Niederreiter, H., Introduction to finite fields and their applications, revised edition, Cambridge University Press, 1994.

Lidl, R. And Niederreiter, H., Finite fields. Cambridge University Press, second edition, Cambridge University Press, 1997.

McEliece,R. J. Finite fields for computer scientists and engineers. Kluvwer Academic Publishers, 1987

Álgebra Linear

Ementa

Espaços Vetoriais e Transformações Lineares. Diagonalização de Operadores e Formas Canônicas. Espaços com Produto Interno.

Programa

Espaços vetoriais. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Diagonalização de Operadores. Teorema da Decomposição Primária. Formas Canônicas de Jordan. Formas Bilineares. Transformações Auto-adjuntas. Teorema Espectral. Classificação das Quádricas.

Bibliografia

Hoffamm, K. – Linear Álgebra.

Halmos, P. R. – Espaços Vetoriais de Dimensão Finita.

Ganmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.

Topologia

Ementa

Espaços Métricos e Topológicos. Espaços Completos, Compactos e Conexos. Continuidade Uniforme. Extensão Contínua de Funções. Completamento de um Espaço Métrico. Teoremas de Pontos Fixos. Teorema de Baire. Teorema de Aproximação de Weierstrass.

Programa

Espaços métricos e topológicos: Noções básicas de distância e topologia. Conjuntos abertos, fechados, limitados e conexos em espaços métricos e em espaços topológicos. Coberturas (finitas e enumeráveis) de abertos e fechados.

Espaços completos: Seqüências e subseqüências. Convergência. Pontos aderentes e de acumulação. Seqüências de Cauchy, Critérios de convergência de seqüências e séries. Espaços métricos e topológicos completos. Espaços métricos e topológicos compactos.

Limite e continuidade: Limite de funções, continuidade, continuidade uniforme. Convergência uniforme e pontual de funções contínuas. Equicontinuidade.

Extensão de funções contínuas: Teoremas de extensões de funções contínuas definidas em conjuntos compactos e ou fechados. Separação de conjuntos.

Completamento de espaços métricos: Completamento de espaços métricos, espaços quocientes, relações de equivalência em seqüências de Cauchy. Conjuntos totalmente limitados.

Teoremas de pontos fixos: Contrações uniformes, teorema do ponto fixo para contrações e aplicações.

Teorema de Baire: Conjuntos magros, conjuntos residuais, limite pontual e uniforme de funções contínuas. Funções não diferenciáveis e contínuas.

Teorema de Aproximação de Weirstrass: Aproximação de funções contínuas reais por polinômios. Álgebra de funções.

Bibliografia

Lima, E. L. - Espaços Métricos, Projeto Euclides.

Simmons, G. – Introduction to Topology and Modern Analysis.

Álgebra Multilinear

Ementa

Espaços vetoriais. Espaços vetoriais quocientes. Transformações Lineares. Teorema do Núcleo e da Imagem. Espaço Dual. Autovalores e Autovetores. Produto interno. Isomorfismos. Bases ortonormais. Polinômios característicos e minimais. Diagonalização de Operadores. Operadores nilpotentes. Forma canônica racional. Formas Canônicas de Jordan. Formas bilineares. Operadores Simétricos e Auto-adjuntos. Teorema Espectral. Classificação das Formas Quadráticas. Determinantes. Cálculo Diferencial das matrizes.

Bibliografia

Herstein, Algebra, John Wiley.

Peter Lax, Linear Álgebra, Acad. Press.

Gantmatcher – Matrix Theory, vols. 1 e 2, Academic Press.

Álgebra

Ementa

Grupos, Anéis, Extensão de Corpos e Teoria de Galois.

Programa

Grupos finitos. Subgrupos. Grupos quocientes. Teorema de Lagrange. Ações de Grupos. Teoremas de Sylow. Grupos abelianos finitamente gerados. Anéis: Anéis e ideais, Domínios euclidianos, Anéis de polinômios, Domínios de fatoração única, corpos finitos. Extensões de Corpos e Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

Bibliografia

Thomas W. Hungerford, Springer Verlag, Álgebra, 8th edition, May 1997.

I.N.Herstein, John wiley & Sons, Topics in Álgebra ,2nd edition, June 1975.

Serge Lang, Springer Verlag, Algebra, 3rd Revision edition, January 2002.

Joseph Rotman, Springer Verlag, An Introduction to the Theoryof Groups, November, 1991.

Paul J. McCarthy, Dover Pubns, Algebraic Extensions of Fields, April 1991.

Análise no Rⁿ

Ementa

Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Regra da Cadeia. Teoremas da Função Inversa e Implícita. Formas Locais das Imersões e Submersões. Integrais Múltiplas. Teorema de Mudança de Variáveis. Formas Diferenciais.

Programa

Aplicações diferenciáveis e classes de diferenciabiliade. Regra da Cadeia. Desigualdade do valor médio. Integrais: caminho, repetidas e múltiplas. Derivadas parciais e o teorema de Schwartz. Fórmula de Taylor. Funções implícitas: Teorema da função inversa, formas locais das submersões e imersões, teorema da função implícita, teorema do posto. Produtos tensorial e exterior, campos e formas diferenciais no Rⁿ, integrais de formas, o teorema de Stokes.

Bibliografia

Lima, E. L. – Análise em R^n.

Lima, E. L. – Análise Real

Lima, E. L. – Análise II, Projeto Euclides.

Spivak, M. – Cálculos on Manifolds, Benjamin.

Carmo, M.P. – Differential Forms and applications, Springer-Verlag

Medida e Integração

Ementa

Medidas no Plano. Medida de Lebesgue. Funções Mensuráveis. Integral de Lebesgue. Integral de Lebesgue versus Integral de Riemann. Teorema de Fubini. Relação entre Derivadas e Integrais.

Programa

Conjuntos e funções mensuráveis; Operações com conjuntos e funções mensuráveis; Limites de conjuntos e funções mensuráveis. Medidas; Espaços de medida; Exemplos; Sigma; Álgebra de Borel; Medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue; Lema de Fatou; Teorema da convergência dominada; Aplicações; Comparação entre integral de Riemann e Lebesgue. Espaços normados; Espaços completos; Espaços Lp; Desigualdade de Holder; Desigualdade de Minkowiski; Completude dos espaços Lp. Convergência em média; Uniforme em quase todo ponto e em Lp. Comparação entre os tipos de convergência. Extensões de medidas; Teorema de Caratheodory; Medida de Lebesgue e de Lebesgue-Stieltjes. Medida produto; Teoremas de Tonelli e Fubini.

Bibliografia

Royden, H. – Real Analysis, Michillan.

Bartle, G. – The Elements of Integration, John Wiley.

Kolmogorov, A., Formin S. – Introductory Real Analysis, Dover Publications.

Equações Diferenciais Ordinárias

Ementa

Teorema de Existência e Unicidade. Continuidade com respeito as condições iniciais. Fluxos lineares. Equações Autônomas. Pontos singulares e regulares. Teorema do Fluxo Tubular. Pontos singulares hiperbólicos. Estabilidade de um ponto singular. Funções de Liapounov. Órbitas periódicas. Estabilidade de órbitas periódicas. Teorema de Poincaré-Bendixson no plano. Outros tópicos.

Programa

Teorema de Existência e Unicidade, Teorema de Picard e Peano. Continuidade com respeito as condições iniciais, Equação de variação e derivadas de ordem superior. Fluxos lineares, Exponencial de matrizes. Sistemas hiperbólicos, Formas normais. Pontos singulares hiperbólicos, Teorema de Hartman e aplicações. Funções de Liapounov, Energia cinética e potencial, Campos gradientes e hamiltonianos. Teorema de Poincaré- Bendixson no plano, Teorema de Poincaré-Bendixson na esfera e outras superfícies. Equações de Lienard e ciclos limite, Teorema de Peixoto e estabilidade estrutural de campos de vetores.

Bibliografia

Arnold, V. – Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag.

Smale, S., Hirsch, M. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press.

Sotomayor, J. – Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides. 1979.

Palis, Melo – Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, 1977.

Equações Diferenciais Parciais

Ementa

Regularizações em L^p. Equações de primeira ordem. Leis de Conservação. Equações quase-lineares e o Teorema de Cauchy-Kowalewski. As Equações de Laplace, Calor e Onda em domínios do Rⁿ.

Programa

Desigualdades básicas. Equações de 1^a Ordem e Leis de Conservação, Soluções fracas. Equações Quase-Lineares de Segunda Ordem e Classificação. Superfícies, Características. Teorema de Cauchy-Kowalevski. Problemas bem-postos. Equação de Laplace, Funções de Green, Funções Harmônicas e Sub-harmônicas, Princípio do Máximo, Problema de Dirichlet na Esfera e em Domínio Limitado, Problemas não Homogêneos. A Equação do Calor, Princípio do Máximo, Problemas de Dirichlet, Newmann e Cauchy. A Equação da Onda, Médias Esféricas, Princípio de Duhamel, Método das descendentes, Problemas de Cauchy Homogêneo e não Homogêneo.

Bibliografia

Emmanuele Di Benedetto, Partial Differential Equations, Birkhauser, Boston, 1995.

Iório R., Iório V. Equações Diferenciais Parciais: Uma Introcução, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, IMPA, 1988.

Fritz John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1979.

G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Princeton University Press, New Jersey, 1995.

Friedman, A., Partial Differential Equations, Holt Rinehart and Winston, New York, 1976.

Funções de uma Variável Complexa

Ementa

Funções Holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann. Funções Meromorfas. Seqüências e Séries de Funções. Teorema de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Princípio do Módulo Máximo e Aplicações. Cálculo de Resíduos e Aplicações. Teorema de Representação Conforme de Riemann. Espaços de Funções Holomorfas.

Programa

1. O corpo de números complexos. Números complexos. Séries de números e de funções. Espaços de funções contínuas;

2. Funções analíticas. Funções holomorfas: derivação, aplicações conformes, o teorema da função inversa. Séries de potências. Funções exponencial, logaritmo, raízes e potências, trigonométricas. Funções analíticas.

3. Integração no plano complexo. Formas diferenciais. Homotopia e integração. Teoremas de Jordan e de Green. 4. Teoria de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Aplicações. Séries de Laurent. Teoria dos resíduos. A esfera de Riemann.

Bibliografia

Alcides Lins Neto, Funções de uma variável complexa, Rio de Janeiro, Projeto Euclides, IMPA, 1993.

Alfhors, L.V. – Complex Analysis, McGraw-Hill, Book Co.,1966.

Cartan, H. – Théorie Elementarie des Functions Analytiques d´ une Ou Plusieurs Variable Complexas, Paris, Herman, 1961

Geometria Diferencial

Ementa

Curvas no Plano e no Espaço. Superfícies Regulares em R^3. Primeira e Segunda Formas Fundamentais. Geometria Intrínseca das Superfícies em R^3.

Programa

Curvas no Plano, Curvas no Espaço, Curvatura, Torção, Fórmulas de Frenet, Teorema Fundamental da Teoria das Curvas, Propriedades Globais de Curvas Planas. Superfícies Regulares em R³. Plano Tangente, Aplicações Diferenciáveis entre Superfícies, Orientabilidade, A Primeira Forma Fundamental, A Aplicação Normal de Gauss, A Segunda Forma Fundamental, Curvaturas Principais e Direções Principais, Curvatura Média e Curvatura Gaussiana, Linhas de Curvatura e Linhas Assintóticas, Superfícies Mínimas, Geometria Intrínseca das Superfícies, Isometria, O Teorema de Gauss e as Equações de Compatibilidade, Derivada Covariante, Transporte Paralelo, Geodésicas, Teorema de Gauss-Bonnet e Aplicações.

Bibliografia

Carmo, M. P. do – Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, USA , 1976.

Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3, Publish or Perish, USA, 1979.

O’ Neill, B. – Elementary Differential Geometry, Academic Press, USA, 1997.

Geometria Riemanniana

Ementa

Variedades Diferenciáveis. Variedades Riemannianas.Conexões. Geodésicas. Curvaturas. Campos de Jacobi. Imersões Isométricas. Variedades Completas. Espaços de Curvatura Constante.

Programa

Variedades Diferenciáveis. Espaço Tangente. Imersões. Mergulhos. Subvariedades. Orientabilidade. Fibrado Tangente. Campos de Vetores. Colchete de Lie. Variedades Riemannianas. Conexões afins. Conexão Riemannianaa. Teorema de Levi-Civita. Geodésicas. Fluxo Geodésico. Propriedades Minimizantes das Geodésicas. Vizinhanças Convexas. Curvatura. Curvatura Seccional. Curvatura de Ricci. Curvatura Escalar. Campos de Jacobi. Pontos Conjugados. Imersões Isométricas. A Segunda Forma Fundamental. Equações de Gauss, Codazzi e Ricci. Variedades Completas. Teorema de Hoph-Rinow. Teorema de Hadamard. Espaços de Curvatura Constante. Teorema de Cartan. As Formas Espaciais. Isometrias do Espaço Hiperbólico. Teorema de Liouville.

Bibliografia

Do Carmo, M.P. – Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, 1988.

Boothby, W. M. – Na Introduction do Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975.

Spivak, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vols. 1,3 e 4, Publish or Perish, 1979.

Sakai, T. – Riemannian Geometry, AMS, 1996

Probabilidade

Ementa

Modelos Elementares (Espaços Finitos), Elementos de Teoria da Medida, Elementos de Teoria da Probabilidade.

Programa

Modelos Elementares (Espaços Finitos): Espaço de probabilidade, Variáveis aleatórias, Lei fraca dos grandes números de James Bernoulli, Teorema Central do Limite de De Moivre – Laplace; Elementos de Teoria da Medida: Medidas, Funções mensuráveis, Integral de Lebesgue, Teoremas de Convergência; Elementos de Teoria da Probabilidade: Espaços de probabilidade, Variáveis aleatórias, Leis dos grandes números, Teorema Central do Limite de Lindeberg-Feller.

Bibliografia

Barry, J. – Probabilidade: um curso em nível de Introdução, SMB.

Barra, G. de – Measure Theory and Integration, Wiley.

Teoria dos Grupos Finitos

Ementa

Representações permutacionais. Automorfismos. Grupos solúveis. Classificação de certos p-grupos finitos

Programa

Representações permutacionais. Teoremas de Sylow e aplicações. Produtos diretos finitos. Automorfismos. Produtos semidiretos. Extensões de grupos. Grupos abelianos. Teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados. Automorfismos de p-grupos abelianos finitos. Decomposições de um grupo. Teorema de Remak-Krull-Schmidt. O homomorfismo “Transfer” e aplicações. Séries normais. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos solúveis. Teoremas de P. Hall. Séries centrais. Grupos Nilpotentes. Caracterização de grupos nilpotentes finitos. Classificação de certos p-grupos finitos. Teorema de base de Burnside para p-grupos finitos.

Bibliografia

D.J. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer Verlag, 1982.

J.J. Rotman, An Introduction to tha Theory of Groups, Springer Verlag, 1995.

M. Hall Jr., The Theory of Groups, Macmillan, 1968.

M. Suzuki, Goup Theory I, Springer, 1982.

T. W. Hungerford, algebra, Apringer, 1996.

D. Gorenstein, Finite Groups, Harper 7 Row, 1968.

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